Question

已知等差數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a₂=6，S₅=50，數列{b_n}的前n項和T_n滿足Tn+

1

2

bn=1．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求證：數列{b_n}為等比數列；
（Ⅲ）記cn=

1

4

an•bn，數列{c_n}的前n項和為R_n，若R_n＜λ對n∈N^*恒成立，求λ的最小值．

Answer 1

分析：（I）利用等差數列的求和公式，結合a₂=6，S₅=50，求出首項與公差，可得數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）利用遞推式，再寫一式，兩式相減，可證明數列{b_n}為等比數列；
（Ⅲ）確定數列的通項，利用錯位相減法求和，即可求λ的最小值．

解答：（Ⅰ）解：由S5=

5(a1+a5)

2

=5a3=50得a₃=10，
又a₂=6，所以d=4，a₁=2，所以a_n=2+4（n-1），所以a_n=4n-2…（3分）
（Ⅱ）證明：由Tn+

1

2

bn=1①，
令n=1，得b1=

2

3

，
當n≥2時Tn-1+

1

2

bn-1=1②
①-②得Tn-Tn-1+

1

2

(bn-bn-1)=0，整理得bn=

1

3

bn-1(n≥2)
故{b_n}是以b1=

2

3

為首項，

1

3

為公比的等比數列．…（8分）
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知bn=2(

1

3

)n，故cn=

1

4

(4n-2)×2(

1

3

)n=

2n-1

3n

所以Rn=

1

3

+

3

32

+

5

33

+…+

2n-1

3n

，兩邊同乘以

1

3

得

1

3

Rn=

1

32

+

3

33

+…+

2n-3

3n

+

2n-1

3n+1

兩式相減得

2

3

Rn=

1

3

+

2

32

+

2

33

+…+

2

3n

-

2n-1

3n+1

=

1

3

+

2 32 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-

2n-1

3n+1

=

2

3

-

1

3n

-

2n-1

3n+1

所以Rn=1-

3

2•3n

-

2n-1

2•3n

=1-

n+1

3n

＜1恒成立，故λ≥1，所以λ的最小值為1．…（14分）

點評：本題考查等差數列與等比數列的綜合，考查數列的通項與求和，考查恒成立問題，確定數列的通項是關鍵．