Question

【題目】（本小題滿(mǎn)分為14分）如圖1所示，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，CD為∠ACB的平分線，點(diǎn)E在線段AC上，CE＝4.如圖2所示，將△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，連結(jié)AB，設(shè)點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)．

（1）求證：DE⊥平面BCD；

（2）在圖2中，若EF∥平面BDG，其中G為直線AC與平面BDG的交點(diǎn)，求三棱錐BDEG的體積．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析（2）

【解析】

試題分析：（1）折疊問(wèn)題需注意折疊前后垂直關(guān)系不變的量：折疊前根據(jù)平幾知識(shí)可計(jì)算出有DE⊥CD.折疊后仍有DE⊥CD.再由面面垂直性質(zhì)定理可得DE⊥平面BCD.（2）求三棱錐體積關(guān)鍵在于確定高，即線面垂直.這仍可由面面垂直性質(zhì)定理得到：因?yàn)槠矫鍮CD⊥平面ACD，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥CD交于點(diǎn)H 則有BH⊥平面ACD.由線面平行可推導(dǎo)出線線平行，從而確定G的位置，這樣就可計(jì)算底面積，最后根據(jù)三棱錐體積公式求體積

試題解析：（1）證明：在題圖1中，因?yàn)锳C＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，

所以∠ACB＝60°.

因?yàn)镃D為∠ACB的平分線，所以∠BCD＝∠ACD＝30°，

所以CD＝2.

又因?yàn)镃E＝4，∠DCE＝30°，所以DE＝2.則CD2＋DE2＝CE2，

所以∠CDE＝90°，即DE⊥CD.

在題圖2中，因?yàn)槠矫鍮CD⊥平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，DE平面ACD，所以DE⊥平面BCD.

（2）在題圖2中，因?yàn)镋F∥平面BDG，EF平面ABC，

平面ABC∩平面BDG＝BG，所以EF∥BG.

因?yàn)辄c(diǎn)E在線段AC上，CE＝4，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，

所以AE＝EG＝CG＝2.

過(guò)點(diǎn)B作BH⊥CD交于點(diǎn)H.因?yàn)槠矫鍮CD⊥平面ACD，BH平面BCD，

所以BH⊥平面ACD.

由條件得BH＝.又S△DEG＝S△ACD＝×AC·CD·sin 30°＝，

所以三棱錐BDEG的體積為V＝S△DEG·BH＝××＝.