Question

【題目】我們常常稱恒成立不等式（，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立)為“靈魂不等式”，它在處理函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題中常常發(fā)揮重要作用.

（1）試證明這個不等式；

（2）設(shè)函數(shù)，且在定義域內(nèi)恒有，求實數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）1

【解析】

（1）方法1：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想方法；方法2：構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)函數(shù)求解函數(shù)最大值,使其小于等于0；

（2）函數(shù)定義域是，首先將轉(zhuǎn)化為，對x分類（和）后分離參數(shù)，利用（1）中的結(jié)論“靈魂不等式”求解a的值.

（1）法1（圖象法）：在同一坐標(biāo)系下作出曲線和直線，發(fā)現(xiàn)它們均經(jīng)過定點，且，即直線是曲線在定點處的切線.

故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）.

法2（導(dǎo)數(shù)法）：令，則.

顯然在內(nèi)單增，在內(nèi)單減， 因此

于是.即,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.

（2）函數(shù)的定義域是.

等價于，

即:

當(dāng)時，. 由靈魂不等式:知， ，

因此

當(dāng)時，. 由靈魂不等式:知， ，

因此 當(dāng)時，等號成立,

綜上可知，實數(shù)的值是.