Question

已知函數(shù).
（1）若函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，求的值；
（2）若，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn)，求的取值范圍；
（3）若對任意的，均有，求的取值范圍．

Answer 1

（1），；（2）或；（3）.

試題分析：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，利用導(dǎo)數(shù)求切線方程、判斷函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識，考查函數(shù)思想、分類討論思想，考查綜合分析和解決問題的能力.（1）先求導(dǎo)，將切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入到導(dǎo)數(shù)中，得到切線的斜率，結(jié)合已知切線的斜率可求出的值，再由切點(diǎn)在切線上，可求出即切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，然后代入的解析式即可求出的值；（2）先將代入得到解析式，求導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824044409140447.png" style="vertical-align:middle;" />在有唯一的零點(diǎn)，所以或，所以解得或；（3）屬于恒成立問題，通過分析題意，可以轉(zhuǎn)化為在上的最大值與最小值之差，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824044409733667.png" style="vertical-align:middle;" />，所以討論的正負(fù)來判斷的正負(fù)，當(dāng)時，為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，當(dāng)時，需列表判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值來決定最值的位置，這種情況中還需要討論與1的大小.
試題解析：(1)，所以，得
又，所以，得
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824044409124352.png" style="vertical-align:middle;" />所以，
當(dāng)時，，當(dāng)時，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
又，可知在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn)等價于
或
得或
(3)若對任意的，均有，等價于在上的最大值與最小值之差
（ⅰ）當(dāng)時，在上，在上單調(diào)遞增
由，得
所以
（ⅱ）當(dāng)時，由得

由得或
所以，同理
當(dāng)，即時，，與題設(shè)矛盾
當(dāng)，即時，恒成立
當(dāng)，即時，恒成立
綜上所述，的取值范圍為.