Question

（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分8分，第3小題滿分6分．
已知負數和正數，且對任意的正整數n，當≥0時, 有[, ]=
[, ]；當<0時, 有[, ]= [, ]．
（1）求證數列{}是等比數列；
（2）若，求證；
（3）是否存在，使得數列為常數數列？請說明理由

Answer 1

（1）當≥0時，b_n+1－a_n+1= -a_n= ；
當<0, b_n+1－a_n+1= b_n-= ．
所以，總有b_n+1－a_n+1= (b_n-a_n),                      
又，可得，                     
所以數列｛b_n－a_n｝是等比數列．                          ………………4分
（2）①由，可得，故有，
∴，，從而，
故當n=1時，成立．                           ………………6分
②假設當時，成立，即，      
由，可得，                   
, 故有，
∴,                       ………………9分
,故有
∴, ，故
∴當時，成立．
　綜合①②可得對一切正整數n，都有．             ………………12分
（3）假設存在，使得數列為常數數列，
由（1）可得b_n－a_n=()^n-1，又，
故b_n=()^n-1，                                 ………………14分
由恒成立，可知≥0,即()ⁿ≥0恒成立，
即2ⁿ≤對任意的正整數n恒成立，                　………………16分
又是正數，故n≤對任意的正整數n恒成立，
因為是常數，故n≤不可能對任意正整數n恒成立．
故不存在，使得數列為常數數列．　　　　　　　   ………………18分

略