Question

【題目】已知對任意的實數，都有：，且當時，有．

（1）求；

（2）求證：在上為增函數；

（3）若，且關于的不等式對任意的恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

(1)在已知恒等式中令可得;

(2)用增函數的定義可證;

(3)利用已知恒等式和求得,再將不等式化為后,利用單調性可化為在上恒成立,再利用二次函數的最值可解決.

（1）解：令，則，解得．

（2）證明：設是上任意兩個實數，且，則

則

所以，

由得，所以，

故，即，

所以在上為增函數．

（3）由已知條件有：，

故原不等式可化為：，

即，

因為,

所以,

因為,

所以,

故不等式可化為．

由（2）可知在上為增函數，所以，

即在上恒成立，

令，即成立即可，

（i）當即時，在上單調遞增．

則解得，所以，

（ii）當，即時，有，

化簡得:,即,

解得，

而，所以，

綜上所述：實數的取值范圍是．