Question

（2009•杭州二模）如圖，把正三角形ABC分成若干全等的小正三角形，且在每個小三角形的頂點上都放置一個非零實數，使得任意兩個相鄰的小三角形組成的菱形的兩組相對頂點上實數的乘積相等．設點A為第一行，…，BC為第n行，
記點A上的數為a_1，1，…，第I行中第j個數為ai，j(1≤j≤i)．若a1，1=1，a2，1=

1

2

，a2，2=

1

4

則下列結論中正確的是

①④

（把正確結論的序號都填上）．
①a_1，1a_5，3=a_3，1a_3，3；
②a_3，1a_4，2a_5，3…a_n，n-2=a_3，3a_4，3a_5，3…a_n，3
③a2009，1+a2009，2+a2009，3+…a2009，2009=(

1

2

)2007-(

1

4

)2009
④a_i，i+a_i+1，i+a_i+2，i+…+a_n，i=2^n-i（a_n，i+a_n，i+1+a_n，i+2+…+a_n，n）

Answer 1

分析：根據任意兩個相鄰的小三角形組成的菱形的兩組相對頂點上實數的乘積相等，從而求出所求．

解答：解：∵任意兩個相鄰的小三角形組成的菱形的兩組相對頂點上實數的乘積相等，∴a_1，1a_5，3=a_3，1a_3，3，故①正確；對于②，由于左邊的下標和與右邊的下標和不相等，故錯誤；由a1，1=1，a2，1=

1

2

，a2，2=

1

4

，借助于定義可知：第2009行組成以

1

22008

為首項，

1

2

為公比的等比數列，所以a2009，1+a2009，2+a2009，3+…a2009，2009=

1 22008 (1- 1 22009 )

1- 1 2

=(

1

2

)2007-(

1

4

)2008，故③錯誤
④i=1時，a_1，1+a_2，1+…+a_n，1=

1- 1 2n

1- 1 2

=2-21-n，2^n-1（a_n，1+a_n，2+…+a_n，n）=2n-1

1 2n-1 (1- 1 2n )

1- 1 2

= 22-n(1-

1

2n

)=2-21-n ，故正確；
故答案為①④

點評：本題主要考查了數列的應用，解題的關鍵就是根據任意兩個相鄰的小三角形組成的菱形的兩組相對頂點上實數的乘積相等建立等式，屬于中檔題．