Question

【題目】已知函數f（x）=x2+alnx． （Ⅰ）當a=﹣2時，求函數f（x）的單調區間和極值；
（Ⅱ）若g（x）=f（x）+ 在[1，+∞）上是單調增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵函數f（x）=x2+alnx，∴函數f（x）的定義域為（0，+∞）． 當a=﹣2時， = ．
當x變化時，f′（x）和f（x）的值的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	﹣	0	+
f（x）	遞減	極小值	遞增

由上表可知，函數f（x）的單調遞減區間是（0，1）、單調遞增區間是（1，+∞）、極小值是f（1）=1．
（Ⅱ） 由g（x）=x2+alnx+ ，得 ．
若函數g（x）為[1，+∞）上的單調增函數，則g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即不等式2x﹣ + ≥0在[1，+∞）上恒成立．
也即a≥ 在[1，+∞）上恒成立．
令φ（x）= ，則φ′（x）=﹣ ．
當x∈[1，+∞）時，φ′（x）=﹣ ﹣4x＜0，
∴φ（x）= 在[1，+∞）上為減函數，∴φ（x）max=φ（1）=0．
∴a≥0．
∴a的取值范圍為[0，+∞）
【解析】（Ⅰ）函數f（x）的定義域為（0，+∞）．當a=﹣2時， = ，由此利用導數性質能求出函數f（x）的單調區間和極值．（Ⅱ） 由g（x）=x2+alnx+ ，得 ，令φ（x）= ，則φ′（x）=﹣ ．由此利用導數性質能求出a的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題．