Question

在數列{a_n}中,a₁=1,a_n+1=ca_n+cⁿ⁺¹(2n+1)(n∈N^*),其中實數c≠0.求{a_n}的通項公式.

Answer 1

a_n=(n²-1)cⁿ+c^n-1,n∈N^*

由原式得=+(2n+1).令b_n=,
則b₁=,b_n+1=b_n+(2n+1),
因此對n≥2有b_n=(b_n-b_n-1)+(b_n-1-b_n-2)+…+(b₂-b₁)+b₁=(2n-1)+(2n-3)+…+3+=n²-1+,
因此a_n=(n²-1)cⁿ+c^n-1,n≥2.
又當n=1時上式成立.
因此a_n=(n²-1)cⁿ+c^n-1,n∈N^*.