Question

如圖，P是正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，且PD⊥AD，PD⊥DC，PD=3，AD=2，若M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)．
（1）求證：MN⊥DC；
（2）求點(diǎn)M到平面PAC的距離．

Answer 1

（本小題滿分13分）
如圖建系，則D（0，0，0），
A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），P（0，0，3），則M(2，1，0)，N(0，1，

3

2

)．
（1）∴

MN

=(-2，0，

3

2

)，

DC

=(0，2，0)∴

MN

•

DC

=(-2，0，

3

2

)•(0，2，0)=0，∴MN⊥DC．
（2）設(shè)

n

=(x，y，z)為平面PAC的一個(gè)法向量，

PA

=(2，0，-3)，

PC

=(0，2，-3)，
由

PA • n =0 PC • n =0

，得

2x-3y=0 2y-3z=0

取x=3，則y=3，z=2，

n

=(3，3，2)，

MA

=(-1，0，0)
∴d=

| n • MA |

| n |

=

3

22

=

3 22

22

，
∴點(diǎn)M到平面PAC的距離為

3 22

22

．