Question

(本小題滿分15分)
已知函數(shù)，。
（Ⅰ）求在區(qū)間的最小值；
（Ⅱ）求證：若，則不等式≥對(duì)于任意的恒成立；
（Ⅲ）求證：若，則不等式≥對(duì)于任意的恒成立。

Answer 1

解(Ⅰ): ………………………………………1分
①若
∵，則，∴，即。
∴在區(qū)間是增函數(shù)，故在區(qū)間的最小值是。……3分
②若
令，得.
又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
∴在區(qū)間的最小值是………………………………5分
綜上，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間的最小值是，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間的最小值是。……………………………………………6分
（Ⅱ）證明:當(dāng)時(shí)，，則，7分
∴,
當(dāng)時(shí)，有，∴在內(nèi)是增函數(shù)，
∴，
∴在內(nèi)是增函數(shù)，
∴對(duì)于任意的，恒成立。…………………………………10分
(Ⅲ)證明: 
,
令
則當(dāng)時(shí),≥
,……………………………………………12分
令,則,
當(dāng)時(shí), ；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
則在是減函數(shù)，在是增函數(shù)，
∴，∴，
∴，即不等式≥對(duì)于任意的恒成立。……………15分

略