Question

已知圓M過兩點A(1，－1)，B(－1，1)，且圓心M在x＋y－2＝0上．
(1)求圓M的方程；
(2)設P是直線3x＋4y＋8＝0上的動點，PA′、PB′是圓M的兩條切線，A′、B′為切點，求四邊形PA′MB′面積的最小值．

Answer 1

（1）(x－1)²＋(y－1)²＝4.（2）2

(1)設圓M的方程為(x－a)²＋(y－b)²＝r²
(r>0)，根據題意得解得a＝b＝1，r＝2.
故所求圓M的方程為(x－1)²＋(y－1)²＝4.
(2)由題知，四邊形PA′MB′的面積為S＝S_△PA′M＋S_△PB′M＝|A′M||PA′|＋|B′M||PB′|.又|A′M|＝|B′M|＝2，|PA′|＝|PB′|，所以S＝2|PA′|，而|PA′|＝＝，即S＝2.因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直線3x＋4y＋8＝0上找一點P，使得|PM|的值最小，所以|PM|_min＝＝3，所以四邊形PA′MB′面積的最小值為S＝2＝2＝2