Question

如圖，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，AB=2，C是⊙O上一點，且AC=BC，PC與⊙O所在的平面成45°角，E是PC中點．F為PB中點．
（1）求證：EF∥面ABC；
（2）求證：EF⊥面PAC；
（3）求三棱錐B-PAC的體積．

Answer 1

分析：（1）在三角形PBC中，由E是PC中點，F為PB中點，知EF∥BC，由此能夠證明EF∥面ABC．
（2）由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，知BC⊥PA，再由AB是⊙O的直徑，知BC⊥AC，故BC⊥面PAC，由此能夠證明EF⊥面PAC．
（3）因為PA⊥⊙O所在的平面，AC是PC在面ABC內的射影，所以∠PCA即為PC與面ABC所成角，故∠PCA=45°，PA=AC．由此能夠求出三棱錐B-PAC的體積．

解答：（1）證明：在三角形PBC中，
∵E是PC中點，F為PB中點，
∴EF∥BC，BC?面ABC，EF?面ABC，
∴EF∥面ABC．
（2）證明：∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴BC⊥PA．
又∵AB是⊙O的直徑，∴BC⊥AC，
∴BC⊥面PAC
∵EF∥BC，BC⊥面PAC，
∴EF⊥面PAC．
（3）解：∵PA⊥⊙O所在的平面，AC是PC在面ABC內的射影，
∴∠PCA即為PC與面ABC所成角，
∴∠PCA=45°，PA=AC，
在Rt△ABC中，E是PC中點，
∠BAC=

π

4

，AC=BC=

2

，
∴三棱錐B-PAC的體積VB-PAC=VP-ABC=

1

3

S△ABCPA=

2

3

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面垂直的證明，考查三棱錐體積的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．