Question

已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切。
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，且，試判斷的面積是否為定值？若為定值，求出定值；若不為定值，說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）.（2）為定值.

解析試題分析：（1）由已知建立方程組，求得.
（2）設(shè)，由得
，根據(jù)，得.應(yīng)用韋達(dá)定理得到

根據(jù),,,
得到,從而有
，計(jì)算得到

試題解析：（1）由題意知，∴，即，
又，∴，
故橢圓的方程為.                       4分
（2）設(shè)，由得
，
，.
                      7分

,,,
,



12分
考點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，函數(shù)的單調(diào)性與最值.