Question

【題目】已知函數，．

（Ⅰ）求的反函數的圖象上點（1，0）處的切線方程；

（Ⅱ）證明：曲線與曲線有唯一公共點．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：先求出其反函數，利用導數得出切線的斜率即可

法一：等價函數零點的個數，由，求導，再次求導，判定出單調性，在上是單調遞增故在上有唯一的零點 法二：等價于曲線與的公共點的個數，當時，兩曲線有公共點，求導得函數單調性進行判定

解析：（Ⅰ）的反函數為，設所求切線的斜率為k．

∵，∴，于是在點（1，0）處的切線方程為（Ⅱ）證法一：曲線與曲線公共點的個數等于函數零點的個數

∵，∴存在零點…

又，令，則．

當時，，∴在上單調遞減；

當時，，∴在上單調遞增，

∴在處有唯一的極小值

即在上的最小值為．

∴（當且僅當時等號成立），

∴在上是單調遞增的，∴在上有唯一的零點，

故曲線與曲線有唯一公共點

證法二：∵，，

∴曲線與曲線公共點的個數等于曲線與的公共點的個數

設，則，即當時，兩曲線有公共點．

又（當且僅當時等號成立），∴在上單調遞減，∴與有唯一的公共點，

故曲線與曲線有唯一公共點