Question

【題目】已知直線l：y=x+1，圓O： ，直線l被圓截得的弦長與橢圓C： 的短軸長相等，橢圓的離心率e= ．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點M（0， ）的動直線l交橢圓C于A、B兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點T，使得無論l如何轉動，以AB為直徑的圓恒過定點T？若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：則由題設可知b=1，

又e= ，∴ = ，∴a2=2

所以橢圓C的方程是 +y2=1．

（2）解：若直線l與y軸重合，則以AB為直徑的圓是x2+y2=1①

若直線l垂直于y軸，則以AB為直徑的圓是 ②

由①②解得 ．

由此可知所求點T如果存在，只能是（0，1）．

事實上點T（0，1）就是所求的點．證明如下：

當直線l的斜率不存在，即直線l與y軸重合時，以AB為直徑的圓為x2+y2=1，過點T（0，1）；

當直線l的斜率存在，設直線方程為 ，代入橢圓方程，并整理，得（18k2+9）x2﹣12kx﹣16=0

設點A、B的坐標分別為A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2= ，x1x2=

∵ =（x1，y1﹣1）， =（x2，y2﹣1）

∴ =x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）=（k2+1）x1x2﹣ （x1+x2）+ =

∴ ，即以AB為直徑的圓恒過定點T（0，1）

綜上可知，在坐標平面上存在一個定點T（0，1）滿足條件．

【解析】（1）由題設可知b=1，利用 ，即可求得橢圓C的方程；（2）先猜測T的坐標，再進行驗證．若直線l的斜率存在，設其方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用向量的坐標運算公式即可證得．