Question

　設函數f(x)的定義域為R，對任意實數x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y),當x>0時f(x)<0且f(3)=－4.
(1)求證: f(x)為奇函數；
(2)在區間［－9，9］上，求f(x)的最值.

Answer 1

(1) 證明略(2) f(x)在區間［－9，9］上的最大值為12，最小值為－12.

 令x=y=0,得f(0)=0
令y=－x,得f(0)=f(x)+f(－x),即f(－x)=－f(x)
∴f(x)是奇函數
(2）解: 1°,任取實數x₁、x₂∈［－9,9］且x₁＜x₂,這時，x₂－x₁>0,
f(x₁)－f(x₂)=f［(x₁－x₂)+x₂］－f(x₂)=f(x₁－x₂)+f(x₂)－f(x₁)=－f(x₂－x₁)
因為x>0時f(x)＜0,∴f(x₁)－f(x₂)>0
∴f(x)在［－9，9］上是減函數
故f(x)的最大值為f(－9),最小值為f(9).
而f(9)=f(3+3+3)=3f(3)=－12,f(－9)=－f(9)=12 
∴f(x)在區間［－9，9］上的最大值為12，最小值為－12.