Question

（本題滿分12分）
如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.

(1)證明：平面PQC⊥平面DCQ；
(2)求二面角Q－BP－C的余弦值．

Answer 1

（I）建立空間直角坐標系后，計算證得PQ⊥DQ，PQ⊥DC.PQ⊥平面DCQ.
再據PQ平面PQC，得到平面PQC⊥平面DCQ.   （II） 

解析試題分析：如圖，以D為坐標原點，線段DA的長為單位長，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標系D—xyz.

（I）依題意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）.
則
所以
即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.
故PQ⊥平面DCQ.
又PQ平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.  …………6分
（II）依題意有B（1，0，1），
設是平面PBC的法向量，則
因此可取
設m是平面PBQ的法向量，則
可取
故二面角Q—BP—C的余弦值為   ………………12分
考點：本題主要考查立體幾何中的垂直關系，角的計算，空間向量的應用。
點評：典型題，立體幾何題，是高考必考內容，往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟，利用向量則能簡化證明過程。