Question

【題目】已知函數.

（1）證明函數在上為減函數；

（2）求函數的定義域，并求其奇偶性；

（3）若存在，使得不等式能成立，試求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2），奇函數；（3）.

【解析】

（1）利用單調性定義證明即可.

（2）根據條件可得，其解集即為函數的定義域，可判斷定義域關于原點對稱，再根據奇偶性定義可判斷函數的奇偶性.

（3）令，考慮在上有解即可，參變分離后利用基本不等式可求實數的取值范圍.

（1），，，

又，

因為，，，故，，，

故即，所以函數在上為減函數.

（2）的滿足的不等關系有：即，

故，解得，

故函數的定義域為，，該定義域關于原點對稱.

令

又

，

故為奇函數.

（3）令，因為，故.

故在上不等式能成立即為

存在，使得，所以在上能成立，

令，則且，

由基本不等式有，當且僅當時等號成立，

所以，當且僅當時等號成立，

故的最大值為，所以a的取值范圍為.