Question

（本題滿分12分）
設函數，
(1) 如果且對任意實數均有,求的解析式；
(2) 在(1)在條件下, 若在區間是單調函數,求實數的取值范圍；
(3) 已知且為偶函數，如果，求證：．

Answer 1

（1）；（2）的取值范圍是；
（3） ．

試題分析： (1) 根據二次函數的函數值f(1)=0和函數值恒大于等于零得到及解析式。
(2) 在(1)在條件下,要是函數單調遞增，則根據對稱軸與定義域的關系分類討論得到。
(3) 結合奇偶性的性質，以及函數單調性得到不等式的證明。
解（1）∵，∴（1分）
對任意實數均有恒成立，
即對任意實數均有恒成立（2分）
當時，，這時,，它不滿足恒成立（3分）
當時，則且
,（4分）
從而,∴（5分）
（2）由（1）知
∴=（6分）
在區間是單調函數
或，即或
的取值范圍是（7分）
（3） ∵是偶函數，∴（8分）
故,   （9分）
∵,∴當時
中至少有一個正數，即都是正數或一個正數，一個負數
若都是正數，則，所以（10分）
若一個正數，一個負數，不妨設，又
則=（11分）
綜上可得，．（12分）
點評：解決該試題的關鍵是能通過解析式的特點以及二次函數的性質，來得到判別式小于等于零，從而得到解析式。