Question

如圖，在四面體ABCD中，二面角A-CD-B的平面角為60°，AC⊥CD，BD⊥CD，且AC=CD=2BD，點E、F分別是AD、BC的中點．
（Ⅰ）求證：EF⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角A-BD-C的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）取DC的中點G，連接EG，FG，證明CD⊥平面EFG，可得∠EGF為二面角A-CD-B的平面角，在△EGF中，由余弦定理得EF=FG，從而可得∠EFG=90°，進而可知EF⊥平面BCD；
（Ⅱ）建立空間直角坐標系，用坐標表示點與向量，求出平面BCD的法向量=（0，0，1），平面ABD的法向量=，利用向量的夾角公式，即可求二面角A-BD-C的余弦值．
解答：（Ⅰ）證明：取DC的中點G，連接EG，FG．
∵點E、F分別是AD、BC的中點．
∴EG，FG分別為△ACD，△BCD的中位線．
故EG⊥CD，FG⊥CD
∵EG∩FG=G．
∴CD⊥平面EFG
∵EF?平面EFG
∴CD⊥EF
可知∠EGF為二面角A-CD-B的平面角，∠EGF=60°．
在△EGF中，EG=2FG，∠EGF=60°，由余弦定理得EF=FG，
又由正弦定理得∠EFG=90°
∵GF∩CD=G，GF?面BCD
∴EF⊥平面BCD；
（Ⅱ）解：以C為原點，平面BCD為xoy平面，CD為y軸建立空間直角坐標系．
設BD=1，則C（0，0，0），B（1，2，0），D（0，2，0），A（1，0，）
∴，．
平面BCD的法向量=（0，0，1）
設平面ABD的法向量=（x，y，z），則•=0，•=0，
∴，∴x=0，，
令z=1，=
∴
∴二面角A-BD-C的余弦值為．
點評：本題考查線面垂直，考查面面角，解題的關鍵是掌握線面垂直的判定方法，正確運用向量法解決面面角問題．