Question

【題目】已知函數f（x）=sinxcos（x﹣ ）+cos2x﹣ ．
（1）求函數f（x）的最大值，并寫出f（x）取最大值x時的取值集合；
（2）若f（x0）= ，x0∈[ ， ]，求cos2x0的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=sinxcos（x﹣ ）+cos2x﹣

=sinx（ cosx+ sinx）+ ﹣

= sin2x+ + cos2x

= sin（2x+ ）+ ，

當2x+ =2kπ+ （k∈Z），即x=kπ+ （k∈Z）時，f（x）取得最大值 ．

函數f（x）的最大值時x的取值集合為{x|x=kπ+ （k∈Z）}

（2）解：若f（x0）= ，即 sin（2x0+ ）+ = ，

整理得：sin（2x0+ ）= ，

∵x0∈[ ， ]，

∴2x0+ ∈[ ， ]，

∴cos（2x0+ ）=﹣ ，

∴cos2x0=cos[（2x0+ ）﹣ ]=cos（2x0+ ）cos +sin（2x0+ ）si'n =﹣ × + × =

【解析】（1）利用兩角和與差的正弦、余弦公式可化簡f（x）=sinxcos（x﹣ ）+cos2x﹣ = sin（2x+ ）+ ，再利用正弦函數的性質即可求得函數f（x）的最大值及f（x）取最大值x時的取值集合；（2）x0∈[ ， ]2x0+ ∈[ ， ]，故可求得cos（2x0+ ）=﹣ ，利用兩角差的余弦cos2x0=cos[（2x0+ ）﹣ ]即可求得cos2x0的值．