Question

（2006•朝陽區一模）已知矩形ABCD中，AB=

2

，AD=1，將△ABD沿BD折起，使點A在平面BCD內的射影落在DC上，E、F、G分別為棱BD、AD、AB的中點．
（1）求證：DA⊥平面ABC；
（2）求點C到平面ABD的距離；
（3）求二面角G-FC-E的大小．

Answer 1

分析：（1）根據DA⊥AB，平面ACD經過平面BCD的垂線，根據面面垂直的判定定理可知平面ACD⊥平面BCD，從而得到BC⊥平面ACD
，則BC⊥DA，AB∩BC=B，滿足線面垂直的判定定理所需條件；
（2）設求點C到平面ABD的距離為d，由（1）結論可知DA⊥平面ABC，則DA是三棱錐D-ABC的高，根據V_C-ABD=V_D-ABC建立等式關系，解之即可求出所求；
（3）先證平面ABD⊥平面FGC，在平面ABD內作EH⊥FG，垂足為H，作HK⊥FC，垂足為K，連接EK，故EK⊥FC，從而∠EKH為二面角E-FC-G的平面角，在Rt△FEC中求出此角即可．

解答：解：（1）證明：依條件可知DA⊥AB①
∵點A在平面BCD上的射影落在DC上，即平面ACD經過平面BCD的垂線
∴平面ACD⊥平面BCD
又依條件可知BC⊥DC，∴BC⊥平面ACD
∵DA?平面ACD∴BC⊥DA②∵AB∩BC=B，∴由①、②得DA⊥平面ABC …4分
（2）解：設求點C到平面ABD的距離為d，于是V_C-ABD=V_D-ABC
由（1）結論可知DA⊥平面ABC，∴DA是三棱錐D-ABC的高
∴由V_C-ABD=V_D-ABC，得

1

3

dS△ABD=

1

3

DAS△ABC，解得d=

2

2

即點C到平面ABD的距離為

2

2

…8分
（3）解：由（I）結論可知DA⊥平面ABC，∵AC、CG?平面ABC
∴DA⊥AC①DA⊥CG②
由①得△ADC為直角三角形，易求出AC=1
于是△ABC中AC=BC=1
∵G是等腰△ABC底邊AB的中點，∴CG⊥AB③∵AB∩DA=A④∴由②、③、④得CG⊥平面ABD
∵CG?平面FGC∴平面ABD⊥平面FGC
在平面ABD內作EH⊥FG，垂足為H∴EH⊥平面FGC
作HK⊥FC，垂足為K，連接EK，故EK⊥FC
∴∠EKH為二面角E-FC-G的平面角 …10分
設Rt△ABD邊BD上的高為h，容易求出h=

6

3

，∴EH=

6

6

在△EFC中，容易求出FE=

2

2

，EC=

3

2

，FC=

5

2

三邊長滿足FC²=FE²+EC²，∴∠FEC=90°
于是在Rt△FEC中容易求出EK=

30

10

，∴sin∠EKH=

EH

EK

=

5

3

…12分
于是二面角E-FC-G的大小為arcsin

5

3

…13分

點評：本題主要考查了線面垂直的判定，點面距離的定理和二面角平面角的度量，同時考查了空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題．