Question

已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，試討論是否存在，使得.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析.

試題分析：（1）先求出導(dǎo)數(shù)為二次函數(shù)，對(duì)和進(jìn)行分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由作差法將等式進(jìn)行因式分解，得到
，于是將問題轉(zhuǎn)化為方程在上有解，并求出該方程的兩根，并判定其中一根在區(qū)間上，并由
以及確定滿足條件時(shí)的取值范圍，然后取相應(yīng)的補(bǔ)集作為滿足條件時(shí)的取值范圍.
（1），方程的判別式為，
①當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)在上是增函數(shù)；
②當(dāng)時(shí)，方程的兩根分別為，，
解不等式，解得或，
解不等式，解得，
此時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，
單調(diào)遞減區(qū)間為；
綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，
單調(diào)遞減區(qū)間為；
（2）



，
若存在，使得，
必須在上有解，
，，
方程的兩根為，，
，，
依題意，，即，
，即，
又由得，
故欲使?jié)M足題意的存在，則，
所以，當(dāng)時(shí)，存在唯一滿足，
當(dāng)時(shí)，不存在滿足.