Question

已知．
（1）若函數f（x）在區間（a，a+1）上有極值，求實數a的取值范圍；
（2）若關于x的方程f（x）=x²-2x+k有實數解，求實數k的取值范圍；
（3）當n∈N*，n≥2時，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）函數f（x）在區間（a，a+1）上有極值⇒f′（x）=0在（a，a+1）上有根，結合條件由函數的單調性可得函數有唯一極值點x=1，1∈（a，a+1）．
（2）構造函數g（x）=x²-2x+k，若關于x的方程f（x）=x²-2x+k有實數解⇒f（x）=g（x）有實數解⇒g（x）_min=g（1）≤f（x）_max
（法二）由f（x）=x²-2x+k分離系數k=，構造函數h（x）=，由題意可得，k≤h（x）_max．
（3）結合函數f（x）在（1，+∞）上的單調性可得，f ⇒1+⇒，利用該結論分別把n=1，2，3，…代入疊加可證．
解答：解：（1）∵，∴
∴當x∈（0，1）時，f'（x）＞0；當x∈（1，+∞）時，f'（x）＜0；
∴函數f（x）在區間（0，1）上為增函數；在區間（1，+∞）為減函數（3分）
∴當x=1時，函數f（x）取得極大值，而函數f（x）在區間（a，a+1）有極值．
∴，解得0＜a＜1
（2）由（1）得f（x）的極大值為f（1）=1，令g（x）=x²-2x+k，
所以當x=1時，函數g（x）取得最小值g（1）=k-1，
又因為方程f（x）=x²-2x+k有實數解，那么k-1≤1，即k≤2，所以實數k的取值范圍是：k≤2

解法二：∵f（x）=x²-2x+k，∴，
令h（x）=，所以h'（x）=+2-2x，當x=1時，h'（x）=0
當x∈（0，1）時，h'（x）＞0；
當x∈（1，+∞）時，h'（x）＜0
∴當x=1時，函數h（x）取得極大值為h（1）=2
∴當方程f（x）=x²-2x+k有實數解時，k≤2．）
（3）∵函數f（x）在區間（1，+∞）為減函數，而，
∴，∴，即
∴lnn=ln2-ln1+ln3-ln2+…+lnn-ln（n-1）＜
∴
而n•f（n）=1+lnn，
，結論成立
點評：本題考查函數存在極值的性質，函數與方程的轉化，及利用函數的單調性證明不等式，要注意疊加法及放縮法在證明不等式中的應用．