Question

如圖，A，B是橢圓C：的左、右頂點，M是橢圓上異于A，B的任意一點，已知橢圓的離心率為e，右準線l的方程為x=m．
（1）若，m=4，求橢圓C的方程；
（2）設直線AM交l于點P，以MP為直徑的圓交MB于Q，若直線PQ恰過原點，求e．

Answer 1

解：（1）由題意：，解得．∴橢圓C的方程為． …（6分）
（2）設，
∵A，M，P三點共線，∴，∴，…（9分）
∴=，
∴c²+ac-a²=0
∴e²+e-1=0，解得．…（16分）
分析：（1）由，右準線l的方程為x=4，建立方程組，求得幾何量，從而可求橢圓的方程；
（2）根據題意，可得A，M，P三點共線，MQ⊥PQ，由此可得幾何量之間的關系，從而可求離心率．
點評：本題考查橢圓的幾何性質與標準方程，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力，屬于中檔題．