Question

有下列命題：①在函數y=cos(x-

π

4

)cos(x+

π

4

)的圖象中，相鄰兩個對稱中心的距離為π；②函數y=

x+3

x-1

的圖象關于點（-1，1）對稱；③關于x的方程ax²-2ax-1=0有且僅有一個實數根，則實數a=-1；④已知命題p：對任意的x∈R，都有sinx≤1，則^?p是：存在，使得sinx＞1．其中所有真命題的序號是

 

．

Answer 1

分析：①求出函數y=cos(x-

π

4

)cos(x+

π

4

)的周期，即可判斷相鄰兩個對稱中心的距離為π的正誤；
②化簡函數y=

x+3

x-1

求出對稱中心，即可判斷它的圖象關于點（-1，1）對稱的正誤；
③關于x的方程ax²-2ax-1=0有且僅有一個實數根，利用判別式求解即可判斷，實數a=-1的正誤；
④已知命題p：對任意的x∈R，都有sinx≤1，寫出^?p即可判斷正誤．

解答：解：①在函數y=cos(x-

π

4

)cos(x+

π

4

)的圖象中，函數的周期是π，相鄰兩個對稱中心的距離為π，是錯誤的；
②函數y=

x+3

x-1

的圖象關于點（1，1）對稱；所以它的圖象關于點（-1，1）對稱是不正確的；
③關于x的方程ax²-2ax-1=0有且僅有一個實數根，則△=0，所以實數a=-1；正確；
④已知命題p：對任意的x∈R，都有sinx≤1，則^?p是：存在，使得sinx＞1．這是正確的．
故答案為：③④

點評：本題是基礎題，考查三角函數的周期，反比例函數的對稱性，方程的根，命題的否定，是綜合題目，基本知識掌握的情況，決定解題的好壞．