Question

已知函數(shù)f(x)=log

1

3

x，
（1）當(dāng)x∈[

1

3

，3]時(shí)，求f（x）的反函數(shù)g（x）；
（2）求關(guān)于x的函數(shù)y=[g（x）]²-2ag（x）+3（a≤3）當(dāng)x∈[-1.1]時(shí)的最小值h（a）；
（3）我們把同時(shí)滿足下列兩個(gè)性質(zhì)的函數(shù)稱為“和諧函數(shù)”：
①函數(shù)在整個(gè)定義域上是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù)；
②在函數(shù)的定義域內(nèi)存在區(qū)間[p，q]（p＜q）使得函數(shù)在區(qū)間[p，q]上的值域?yàn)閇p²，q²]．
（Ⅰ）判斷（2）中h（x）是否為“和諧函數(shù)”？若是，求出p，q的值或關(guān)系式；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（Ⅱ）若關(guān)于x的函數(shù)y=

x2-1

+t（x≥1）是“和諧函數(shù)”，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將f（x）看成關(guān)于x的方程，求出x，將x，y互換得到g（x）．
（2）通過(guò)換元，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)，求出對(duì)稱軸，通過(guò)對(duì)對(duì)稱軸與區(qū)間位置關(guān)系的討論，求出最小值g（a）．
（3）據(jù)和諧函數(shù)的定義，列出方程組，求出p，q滿足的條件．

解答：解：（1）由y=log

1

3

x得x=(

1

3

)y
∴f-1(x)=(

1

3

)x(-1≤x≤1)
 （2）令t=f^-1（x），x∈[-1，1]．由（1）知t∈[

1

3

，3]．
∴函數(shù)y=[f^-1（x）]²-2a[f^-1（x）]+3=t²-2at+3   (

1

3

≤t≤3)
對(duì)稱軸x=a（a≤3）
①a≤

1

3

時(shí)，ymin=(

1

3

)2-

2a

3

+3=

28

9

-

2a

3

②

1

3

＜a≤3，y_min=a²-2a²+3=3-a²．
∴g(a)=

28 9 -  2a 3 (a≤ 1 3 ) 3-a2( 1 3 ＜a≤3)

．
   （3）對(duì)（2）中g(a)=

28 9 - 2a 3 (a≤ 1 3 ) 3-a2( 1 3 ＜a≤3)

，
易知g（x）在（-∞，3]上單減．
（3）（I）若g（x）為“和諧函數(shù)”，則g（x）在（-∞，3]上存在區(qū)間[p，q]（p＜q），使得g（x）在區(qū)間[p，q]
上的值域?yàn)閇p²，q²]．
①若p＜q≤

1

3

，g（x）遞減，
 

28 9 - 2p 3 = q2 28 9 - 2q 3 =p2

得p+q=

2

3

，
這與p＜q≤

1

3

矛盾．
②

1

3

≤p＜q≤3時(shí)

3-p2=q2 3-q2=p2

恒成立

此時(shí)p、q、滿足

p2+q2=3 1 3 ≤p＜q≤3

，這樣的p，q存在．
③p＜

1

3

，

1

3

＜q≤3時(shí)，解得p=

1

3

矛盾                     
∴（2）中g(shù)（x）是“和諧函數(shù)”，p、q滿足

p2+q2=3 1 3 ≤p＜q≤3

（II）∵y=

x2-1

+t在[1，+∞）遞增，有和諧函數(shù)的定義知，該函數(shù)在定義域[1，+∞）內(nèi)，存在區(qū)間[p，q]（p＜q），使得該函數(shù)在區(qū)間[p，q]上的值域?yàn)閇p²，q²]

點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義題，關(guān)鍵是理解透題中的新定義，此題型是近幾年高考常考題型．求分段函數(shù)的函數(shù)值關(guān)鍵是判斷出自變量所屬的范圍．