Question

【題目】“城市呼喚綠化”，發展園林綠化事業是促進國家經濟法陣和城市建設事業的重要組成部分，某城市響應城市綠化的號召，計劃建一如圖所示的三角形ABC形狀的主題公園，其中一邊利用現成的圍墻BC，長度為100 米，另外兩邊AB，AC使用某種新型材料圍成，已知∠BAC=120°，AB=x，AC=y（x，y單位均為米）．

（1）求x，y滿足的關系式（指出x，y的取值范圍）；
（2）在保證圍成的是三角形公園的情況下，如何設計能使所用的新型材料總長度最短？最短長度是多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：在△ABC中，由余弦定理，得AB2+AC2﹣2ABACcosA=BC2，

所以x2+y2﹣2xycos120°=30000，

即x2+y2+xy=30000，

又因為x＞0，y＞0，所以

（2）解：要使所用的新型材料總長度最短只需x+y的最小，

由（1）知，x2+y2+xy=30000，所以（x+y）2﹣30000=xy，

因為 ，所以 ，

則（x+y）2≤40000，即x+y≤200，

當且僅當x=y=100時，上式不等式成立．

故當AB，AC邊長均為100米時，所用材料長度最短為200米

【解析】（1）根據題意，由余弦定理可得x2+y2﹣2xycos120°=30000，變形可得x2+y2+xy=30000，分析x、y的取值范圍即可得答案；（2）由（1）可得x2+y2+xy=30000，對其變形可得（x+y）2﹣30000=xy，結合基本不等式可得 ，解可得x+y≤200，分析可得答案．
【考點精析】本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用和余弦定理的定義的相關知識點，需要掌握用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”；余弦定理:;;才能正確解答此題．