Question

（2009•臺州二模）一袋子中有大小、質量均相同的10個小球，其中標記“開”字的小球有5個，標記“心”字的小球有3個，標記“樂”字的小球有2個．從中任意摸出1個球確定標記后放回袋中，再從中任取1個球．不斷重復以上操作，最多取3次，并規定若取出“樂”字球，則停止摸球．
求：（Ⅰ）恰好摸到2個“心”字球的概率；
（Ⅱ）摸球次數X的概率分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）恰好摸到兩個“心”字球的取法共有4種情形：開心心，心開心，心心開，心心樂．由此能求出恰好摸到2個“心”字球的概率．
（Ⅱ）由題設知X=1，2，3，分別求出P（X=1），P（X=2），P（X=3）的值，由此能求出取球次數X的分布列和EX．

解答：（Ⅰ）解：恰好摸到兩個“心”字球的取法共有4種情形：
開心心，心開心，心心開，心心樂．
則恰好摸到2個“心”字球的概率：
P=

5

10

×

3

10

×

3

10

×3+

3

10

×

3

10

×

2

10

=

153

1000

．…（6分）
（Ⅱ）解：X=1，2，3，
則 P(X=1)=

C 1 2

C 1 10

=

1

5

，
P(X=2)=

C 1 8

C 1 10

•

C 1 2

C 1 10

=

4

25

，
P(X=3)=1-P(X=1)-P(X=2)=

16

25

．…（10分）
故取球次數X的分布列為

X	1	2	3
P	1 5	4 25	16 25

EX=

1

5

×1+

4

25

×2+

16

25

×3=

61

25

．…（14分）

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望，考查學生的運算能力，考查學生探究研究問題的能力，解題時要認真審題，理解古典概型的特征：試驗結果的有限性和每一個試驗結果出現的等可能性，體現了化歸的重要思想．