Question

已知函數
（1）若函數在點處的切線與圓相切，求的值；
（2）當時，函數的圖像恒在坐標軸軸的上方，試求出的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）.

解析試題分析：本題綜合考查函數與導數及運用導數研究函數的單調區間、最值等數學知識和方法，突出考查綜合運用數學知識和方法分析問題、解決問題的能力，考查函數思想、分類討論思想.第一問，先將代入中，得到切點的縱坐標，對求導，將代入得到切線的斜率，所以點斜式寫出切線方程，因為它與圓相切，所以圓心到切線的距離等于半徑，列出表達式，求出；第二問，對求導，通過分析可轉化為當時，恒成立，設，討論，討論的正負，通過拋物線的性質，求最小值.
試題解析：(1) ，而，故，
所以在點處的切線方程為，即，
由，配方得，故該圓的圓心為，半徑，
由題意可知，圓與直線相切，所以，
即，解得.  （4分）
（2）函數的定義域為，，
由題意，只需當時，恒成立. （5分）
設，，
當時，，當時，恒成立，即恒成立，
故在上是增函數，∴當時，，（7分）
當時，函數的對稱軸，則在上是增函數，
當時，，∴，∴在上是增函數，
∴當時，， （9分）
當時，函數的對稱軸，在是減函數，，
故，∴在是減函數，
∴當時，與當時，矛盾，（11分）
綜上所述，的取值范圍是.
考點：1.利用導數求切線的方程；2.點到直線的距離公式；3.利用導數求函數最值.