Question

【題目】如圖，在四棱錐中， 平面，且， ， 是邊的中點．

（1）求證： 平面；

（2）若是線段上的動點（不含端點）：問當為何值時，二面角余弦值為．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）由平面得，再根據，可推出平面，再由及是邊的中點，可推出，從而可證平面；（2）在底面內過點作直線， ，以， ， 所在直線分別為， ， 軸，建立空間直角坐標系，由（1） 可得是平面的一個法向量，再求出平面的一個法向量，再根據二面角余弦值為，即可求得.

試題解析：（1）證明：∵平面

∴，

∵， ，

∴平面

∴，

在等腰直角中，∵是邊的中點

∴，

∵

∴平面．

（2）解：在底面內過點作直線， ，∵平面，

以， ， 所在直線分別為， ， 軸，建立空間直角坐標系，

∴， ， ， ， ，

∴，

∴，

∵平面

∴是平面的一個法向量，

∵是線段上的動點，設（），

∴，∴，∴，

設是平面的一個法向量，

∴∴

取， ，∴

設二面角大小為，

∴

∴，此時二面角是鈍二面角，符合題意，此時．