Question

如圖，已知點A（4，8），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）在拋物線y²=2px上，△ABC的重心與此拋物線的焦點F重合，M為BC中點．
（Ⅰ）求該拋物線的方程和焦點F的坐標；
（Ⅱ）求BC所在直線的方程．

Answer 1

（Ⅰ）由點A（4，8），在拋物線y²=2px上解得p=8，
∴拋物線的方程為y²=16x，焦點F的坐標（4，0）
（Ⅱ）∵△ABC的重心與此拋物線的焦點F重合
由B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）得：

4+x1+x2 3 =4 8+y1+y2 3 =0

∴x₁+x₂=8，y₁+y₂=-8，M點的坐標為（4，-4）
由B，C在拋物線y²=16x上，

y12=16x1 y22=16x2

兩方程作差y₁²-y₂²=16（x₁-x₂）
∴直線BC的斜率k=

y1-y2

x1-x2

=

16

y1+y2

=

16

-8

=-2
∴BC所在直線的方程為y+4=-2（x-4），即2x+y-4=0