Question

【題目】如果函數y=f（x）的定義域為R，對于定義域內的任意x，存在實數a使得f=f（x+a）=f（﹣x）成立，則稱此函數具有“P（a）性質”；
（1）判斷函數y=sinx是否具有“P（a）性質”，若具有“P（a）性質”，試寫出所有a的值；若不具有“P（a）性質”，請說明理由；
（2）已知y=f（x）具有“P（0）性質”，當x≤0時，f（x）=（x+t）2 ， t∈R，求y=f（x）在[0，1]上的最大值；
（3）設函數y=g（x）具有“P（±1）性質”，且當﹣ ≤x≤ 時，g（x）=|x|，求：當x∈R時，函數g（x）的解析式，若y=g（x）與y=mx（m∈R）交點個數為1001個，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由sin（x+a）=sin（﹣x）得sin（x+a）=﹣sinx，

根據誘導公式得a=2kπ+π（k∈Z）．

∴y=sinx具有“P（a）性質”，其中a=2kπ+π（k∈Z）

（2）解：∵y=f（x）具有“P（0）性質”，

∴f（x）=f（﹣x）．

設x≥0，則﹣x≤0，∴f（x）=f（﹣x）=（﹣x+t）2=（x﹣t）2

∴f（x）=

當t≤0時，∵y=f（x）在[0，1]遞增，

∴x=1時ymax=（1﹣t）2，

當0＜t＜ 時，y=f（x）在[0，t]上遞減，在[t，1]上遞增，且f（0）=t2＜f（1）=（1﹣t）2，

∴x=1時ymax=（1﹣t）2，

當t≥ 時，

∵y=f（x）在[0，m]上遞減，在[m，1]上遞增，且f（0）=m2≥f（1）=（1﹣m）2，

∴x=0時，ymax=t2，

綜上所述：當t＜ 時，ymax=f（1）=（1﹣t）2，

當t≥ ymax=f（0）=t2

（3）解：∵y=g（x）具有“P（±1）性質”，

∴g（1+x）=g（﹣x），g（﹣1+x）=g（﹣x），

∴g（x+2）=g（1+1+x）=g（﹣1﹣x）=g（x），從而得到y=g（x）是以2為周期的函數．

又 ≤x≤ 設，則﹣ ≤x﹣1≤ ，

g（x）=g（x﹣2）=g（﹣1+x﹣1）=g（﹣x+1）=|﹣x+1|=|x﹣1|=g（x﹣1）．

再設n﹣ ≤x≤n+ （n∈z），

當n=2k（k∈z），則2k﹣ ≤x≤2k+ ，則﹣ ≤x﹣2k≤ ，

g（x）=g（x﹣2k）=|x﹣2k|=|x﹣n|；

當n=2k+1（k∈z），則2k+1﹣ ≤x≤2k+1+ ，則 ≤x﹣2k≤

g（x）=g（x﹣2k）=|x﹣2k﹣1|=|x﹣n|；

∴g（x）=

∴對于n﹣ ≤x≤n+ ，（n∈z），都有g（x）=|x﹣n|，而n+1﹣ ＜x+1＜n+1+ ，

∴g（x+1）=|（x+1）﹣（n+1）|=|x﹣n|=g（x），

∴y=g（x）是周期為1的函數．

①當m＞0時，要使y=mx與y=g（x）有1001個交點，只要y=mx與y=g（x）在[0，500）有1000個交點，而在[500，501]有一個交點．

∴y=mx過（ ， ），從而得m=

②當m＜0時，同理可得m=﹣

③當m=0時，不合題意．

綜上所述m=±

【解析】（1）根據題意先檢驗sin（x+a）=sin（﹣x）是否成立即可檢驗y=sinx是否具有“P（a）性質”（2）由y=f（x）具有“P（0）性質可得f（x）=f（﹣x），結合x≤0時的函數解析式可求x≥0的函數解析式，結合t的范圍判斷函數y=f（x）在[0，1]上的單調性即可求解函數的最值（3）由題意可得g（1+x）=g（﹣x），g（﹣1+x）=g（﹣x），據此遞推關系可推斷函數y=g（x）的周期，根據交點周期性出現的規律即可求解滿足條件的m，以及g（x）的解析式