Question

在銳角△ABC中，A、B、C是它的三個內角，記S=

1

1+tanA

+

1

1+tanB

，求證：
（1）S＜1；
（2）S＜

tanA

1+tanA

+

tanB

1+tanB

．

Answer 1

分析：（1）先把s的解析式通分整理，利用A，B的范圍確定tanA•tanB＞1，進而得出分子小于分母，證明原式．
（2）可先看

tanA

1+tanA

+

tanB

1+tanB

-S通分整理后利用（1）中的結論判斷出結果大于0進而證明原式．

解答：證明：（1）∵S=

1+tanA+1+tanB

(1+tanA)(1+tanB)

=

1+tanA+tanB+1

1+tanA+tanB+tanAtanB

又A+B＞90°，
∴90°＞A＞90°-B＞0
∴tanA＞tan（90°-B）=cotB＞0
∴tanA•tanB＞1，
∴S＜1
（2）

tanA

1+tanA

+

tanB

1+tanB

-S
=

tanA+tanA•tanB+tanB+tanA•tanB

(1+tanA)(1+tanB)

-

1+tanA+tanB+1

(1+tanA)(1+tanB)

=

2(tanA•tanB-1)

(1+tanA)(1+tanB)

＞0
∴S＜

tanA

1+tanA

+

tanB

1+tanB

成立．

點評：本題主要考查了三角函數的最值問題．考查了考生分析問題和解決問題的能力．