Question

已知數列{a_n}的相鄰兩項a_n，a_n+1是關于x的方程x²-2ⁿx+b_n=0（n∈N^*）的兩實根，且a₁=1．
（1）求證：數列{an-

1

3

×2n}是等比數列；
（2）設S_n是數列{a_n}的前n項和，求S_n；
（3）問是否存在常數λ，使得b_n＞λS_n對?n∈N^*都成立，若存在，求出λ的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據a_n，a_n+1是關于x的方程x²-2ⁿ•x+b_n=0（n∈N^*）的兩實根，得到：

an+an+1=2n bn=an•an+1

，再計算

an+1- 1 3 ×2n+1

an- 1 3 ×2n

的值，從而得出數列{an-

1

3

×2n}是首項為a1-

2

3

=

1

3

，公比為-1的等比數列；
（2）由（1）得an-

1

3

×2n=

1

3

×(-1)n-1，再利用等比數列的求和公式即可求S_n；
（3）由（2）得bn=an•an+1=

1

9

[2n-(-1)n]×[2n+1-(-1)n+1]=

1

9

[22n+1-(-2

)

n

-1]，要使b_n＞λS_n，對?n∈N^*都成立，下面對n進行分類討論：①當n為正奇數時，②當n為正偶數時，分別求得λ的取值范圍，最后綜上所述得到，存在常數λ，使得b_n＞λS_n對?n∈N^*都成立，λ的取值范圍．

解答：解：（1）證明：∵a_n，a_n+1是關于x的方程x²-2ⁿ•x+b_n=0（n∈N^*）的兩實根，
∴

an+an+1=2n bn=an•an+1

（2分）
∵

an+1- 1 3 ×2n+1

an- 1 3 ×2n

=

2n-an- 1 3 ×2n+1

an- 1 3 ×2n

=

-(an- 1 3 ×2n)

an- 1 3 ×2n

=-1．
故數列{an-

1

3

×2n}是首項為a1-

2

3

=

1

3

，公比為-1的等比數列．（4分）
（2）由（1）得an-

1

3

×2n=

1

3

×(-1)n-1，
即an=

1

3

[2n-(-1)n]∴Sn=a1+a2++an=

1

3

(2+22+23++2n)-

1

3

[(-1)+(-1)2++(-1)n]=

1

3

[2n+1-2-

(-1)n-1

2

]．（8分）
（3）由（2）得bn=an•an+1=

1

9

[2n-(-1)n]×[2n+1-(-1)n+1]=

1

9

[22n+1-(-2

)

n

-1]
要使b_n＞λS_n，對?n∈N^*都成立，
即

1

9

[22n+1-(-2)n-1]-

λ

3

[2n+1-2-

(-1)n-1

2

]＞0，(n∈N*)（*）（11分）
①當n為正奇數時，由（*）式得：

1

9

[22n+1+2n-1]-

λ

3

(2n+1-1)＞0
即

1

9

(2n+1-1)(2n+1]-

λ

3

(2n+1-1)＞0
∵2ⁿ⁺¹-1＞0，∴λ＜

1

3

(2n+1)對任意正奇數n都成立，
故

1

3

(2n+1)(n為奇數）的最小值為1．
∴λ＜1．（13分）
②當n為正偶數時，由（*）式得：

1

9

(22n+1-2n-1]-

λ

3

(2n+1-2)＞0，即

1

9

(22n+1+1)(2n-1)-

2λ

3

(2n-1)＞0
∵2ⁿ-1＞0，∴λ＜

1

6

(2n+1+1)對任意正偶數n都成立，
故

1

6

(2n+1+1)(n為偶數）的最小值為

3

2

．
∴λ＜

3

2

．（15分）
綜上所述得，存在常數λ，使得b_n＞λS_n對?n∈N^*都成立，λ的取值范圍為（-∞，1）．（16分）

點評：本小題主要考查等比關系的確定、數列的求和、不等式的解法、數列與函數的綜合等基礎知識，考查運算求解能力與轉化思想．屬于中檔題．