Question

已知A，B，P是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1上不同的三點(diǎn)，且A，B連線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線PA，PB的斜率乘積kPA•kPB=

1

3

，則該雙曲線的離心率為（　　）

• A、

  5

  2

• B、

  6

  2

• C、

  2

• D、

  2 3

  3

Answer 1

分析：設(shè)A，B，P三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 （x₁，y₁），（-x₁，-y₁），（x₂，y₂ ），由 kPA•kPB=

1

3

 可得

y22 -y12

x22-x12

=

1

3

，①又

x12

a2

-

y12

b2

=1，

x22

a2

-

y22

b2

=1，可得 

y22 -y12

x22-x12

= 

b2

a2

 ②，
由①②可得 

b2

a2

=

1

3

，故 e²=

c2

a2

=

a2+b2

a2

=

4

3

，從而得到離心率 e=

c

a

．

解答：解：設(shè)A，B，P三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 （x₁，y₁），（-x₁，-y₁），（x₂，y₂ ），
由 kPA•kPB=

1

3

 可得，

y2 -y1

x2-x1

•

y2 +y1

x2+ x1

=

y22 -y12

x22-x12

=

1

3

  ①．
又

x12

a2

-

y12

b2

=1，

x22

a2

-

y22

b2

=1，∴

x22

a2

-

x12

a2

=

y22

b2

- 

y12

b2

，

y22 -y12

x22-x12

= 

b2

a2

 ②，由①②可得 

b2

a2

=

1

3

，∴e²=

c2

a2

=

a2+b2

a2

=

a2+ 1 3 a2

a2

=

4

3

，
故 離心率 e=

c

a

=

2 3

3

，
故選  D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，得到

b2

a2

=

1

3

，是解題的關(guān)鍵．