Question

已知函數，且定義域為（0，2）.
(1）求關于x的方程+3在（0，2）上的解；
（2）若是定義域(0，2)上的單調函數，求實數的取值范圍；
（3）若關于x的方程在（0，2）上有兩個不同的解，求k的取值范圍。

Answer 1

(1）（2）（3）

本試題主要是考查了函數與方程的思想的綜合運用。
（1）,+3即，對于定義域分段討論得到解的情況。
（2）因為是定義域(0，2)上的單調函數，結合函數與圖像的關系式得到結論。
（3）關于x的方程在（0，2）上有兩個不同的解，那么借助于圖像得到結論。
解（1）,+3即
當時，，此時該方程無解. ……1分
當時，，原方程等價于：此時該方程的解為.
綜上可知：方程+3在（0，2）上的解為.……3分
（2），
………4分
，…………5分
可得：若是單調遞增函數，則  …6分 
若是單調遞減函數，則，………7分
綜上可知：是單調函數時的取值范圍為.…8分
（2）[解法一]：當時，，①
當時，，②
若k=0則①無解，②的解為故不合題意。…………9分
若則①的解為，
（Ⅰ）當時，時，方程②中
故方程②中一根在（1，2）內另一根不在（1，2）內，…………10分
設，而則  又，故，………11分
（Ⅱ）當時，即或0時，方程②在（1，2）須有兩個不同解，12分
而，知方程②必有負根，不合題意�！�…13分
綜上所述，………14分
[略解法二]，………9分
  ,………10分
分析函數的單調性及其取值情況易得解（用圖象法做，必須畫出草圖，再用必要文字說明）……………13分
利用該分段函數的圖象得……………………14分