Question

已知定義在R上函數f(x)=

b-2x

a+2x+1

是奇函數．
（1）對于任意t∈R不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范圍．
（2）若對于任意實數，m，x，f(x)＜m2+2tm+t+

5

2

恒成立，求t的取值范圍．
（3）若g（x）是定義在R上周期為2的奇函數，且當x∈（-1，1）時，g（x）=f（x）-x，求g（x）=0的所有解．

Answer 1

分析：（1）由已知中定義在R上函數f(x)=

b-2x

a+2x+1

是奇函數，我們可以根據奇函數的性質，得到f（0）=0，且f（-x）+f（x）=0，求出a，b的值后，求出函數的解析式，判斷出函數的單調性后，可利用單調性將不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0轉化為了一個關于t的一元二次不等式，根據一元二次不等式恒成立的條件，構造關于k的不等式，解不等式即可得到答案．
（2）若f(x)＜m2+2tm+t+

5

2

恒成立，根據指數函數的值域，可得

1

2

≤m2+2mt+t+

5

2

恒成立，根據一元二次不等式恒成立的條件，構造關于m的不等式，解不等式即可得到答案．
（3）若g（x）是定義在R上周期為2的奇函數，且當x∈（-1，1）時，g（x）=f（x）-x，我們可以求出在一個周期內g（x）=0的解的個數，進而根據函數的周期性得到答案．

解答：解：（1）∵f（x）為奇函數，即f（0）=0
∴b=1，
且f（-x）+f（x）=0
∴a=2
∴f(x)=

1-2x

2x+1+2

=

1

2x+1

-

1

2

（2分）
易證f（x）在R上單調遞減（3分）
由f（t²-2t）＜f（k-2t²）得t²-2t＞k-2t²即k＜3t²-2t恒成立
又3t2-2t=3(t-

1

3

)2-

1

3

≥-

1

3

∴k＜-

1

3

（5分）
（2）由f(x)=

1

2x+1

-

1

2

單調遞減可知f(x)∈(-

1

2

，

1

2

)
又f(x)＜m2+2mt+t+

5

2

恒成立
∴只需

1

2

≤m2+2mt+t+

5

2

（7分）
即m²+2mt+t+2≥0（m∈R）恒成立
∴4t²-4（t+2）≤0
即t²-t-2≤0∴t∈[-1，2]（9分）
（3）∵g（x）為奇函數g（-1）+g（1）=0
又g（x）的周期為2∴g（-1）=g（-1+2）=g（1）
∴g（-1）=g（1）=0（10分）
當x∈（-1，1）時g(x)=f(x)-x=

1

2x+1

-

1

2

-x為單調遞減
∴g（0）=0（11分）
由g（x）的周期為2，∴所有解為x=n（n∈Z）（14分）

點評：本題考查的知識點是函數奇偶性、單調性與周期性的綜合應用，（1）的關鍵是確定函數f（x）的解析式及單調性，（2）的關鍵是求出不等式左邊對應函數的值域，（3）的關鍵是求出一個周期內g（x）=0的解的個數．