Question

（本題13分）已知拋物線的焦點(diǎn)在軸上，拋物線上一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是，過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，過，兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，這兩條切線的交點(diǎn)為．
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求的值；
（3）求證：是和的等比中項(xiàng)．

Answer 1

（1）
（2）0
（3）證明見解析。

（1）由題意可設(shè)拋物線的方程為．
因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以．
又點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離是，所以，可得．
所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．………………………………………………3分
（2）解：點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，則．
依題意可知直線不與軸垂直，所以設(shè)直線的方程為．
由  得．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823142416823368.gif" style="vertical-align:middle;" />過焦點(diǎn)，所以判別式大于零．
設(shè)，．則， ．………………6分
．
由于，所以．
切線的方程為，         ①
切線的方程為．        ②
由①，②，得．…………………………………8分
則．
所以．………………………10分
（3）證明：．
由拋物線的定義知，．
則
．所以．
即是和的等比中項(xiàng)．…………………………………………………13