Question

（2011•寶坻區一模）設函數f（x）=sinx+cos（x+

π

6

），x∈R
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f（A）=

3

2

，且a=

3

2

b，求角C的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用兩角和差的正弦公式，化簡函數f（x）=sin（x+

π

3

），再利用正弦函數的定義域和值域及周期性求出函數f（x）的最小正周期和值域．
（Ⅱ）由f（A）=

3

2

可得 sin（A+

π

3

）=

3

2

，再由△ABC的內角為A，可得A的值．再由a=

3

2

b及正弦定理可得sinB=1，故有 B=

π

2

．
再由三角形內角和定理可得C=π-A-B 的值．

解答：解：（Ⅰ）函數f（x）=sinx+cos（x+

π

6

）=sinx+

3

2

cosx-

1

2

sinx=sin（x+

π

3

），
故函數的最小正周期等于

2π

1

=2π，當x=2kπ+

π

2

，k∈z時，函數有最大值為1，
當x=2kπ-

π

2

，k∈z時，函數有最小值等于-1．
故函數f（x）的值域為[1，1]．
（Ⅱ）由f（A）=

3

2

可得 sin（A+

π

3

）=

3

2

．再由△ABC的內角為A，∴A+

π

3

=

2π

3

，A=

π

3

．
又a=

3

2

b，由正弦定理可得

3 2 b

sinA

=

b

sinB

，∴sinB=1，∴B=

π

2

．
再由三角形內角和定理可得C=π-A-B=

π

6

．

點評：本題主要考查兩角和差的正弦公式、正弦定理的應用，正弦函數的定義域和值域及周期性，化簡函數f（x）=sin（x+

π

3

），是解題的關鍵．