Question

若，（、）.
（1）求的值； （2）求證：數(shù)列各項(xiàng)均為奇數(shù).

Answer 1

（1）.（2）略

本試題主要考查了二項(xiàng)式定理的運(yùn)用。
解：（1）當(dāng)時(shí)，

故，，所以.
（2）證：由數(shù)學(xué)歸納法（i）當(dāng)時(shí)，易知，為奇數(shù)；
（ii）假設(shè)當(dāng)時(shí)，，其中為奇數(shù)；
則當(dāng)時(shí)，

所以，又、，所以是偶數(shù)，
而由歸納假設(shè)知是奇數(shù)，故也是奇數(shù).
綜上（i）、（ii）可知，的值一定是奇數(shù).
證法二：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408232129037891197.png" style="vertical-align:middle;" />
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，
則當(dāng)時(shí)，是奇數(shù)；當(dāng)時(shí)，
因?yàn)槠渲?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408232129038981443.png" style="vertical-align:middle;" />中必能被2整除，所以為偶數(shù)，
于是，必為奇數(shù)；
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，
其中均能被2整除，于是必為奇數(shù).綜上可知，各項(xiàng)均為奇數(shù)