Question

已知函數y=f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的圖象與y軸交于點（0，

3

），點（a+π，-2）與（a，2）分別是函數圖象上相鄰的最低點與最高點．
（1）求函數y=f（x）的解析式；
（2）將函數y=f（x）圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的 

3

2

倍，橫坐標縮短到原來的

1

2

倍，得函數y=g（x）的圖象．寫出函數y=g（x）的解析式，并畫出函數y=g（x）在長度為一個周期的閉區間上的簡圖．

Answer 1

分析：（1）依題意，可知A=2，由T=2π可求ω，y=f （x）的圖象經過點（0，

3

），|φ|＜

π

2

可求得φ；
（2）令2x+

π

3

取0，

π

2

，π，

3π

2

，2π，得到相應的x的值，列表，描點即可．

解答：解：（1）根據題意，函數y=f （x）=Asin（ωx+φ）中，A=2，T=2π，ω=1．  …（3分）
又函數y=f （x）的圖象與y軸交于點（0，

3

），∴2sinφ=

3

．
由于|φ|＜

π

2

，故φ=

π

3

．
∴f （x）=2sin（x+

π

3

）． …（6分）
（2）由題意，得g （x）=3sin（2x+

π

3

）．…（8分）
列表如下：

x	- π 6	π 12	π 3	7π 12	5π 6
2x+ π 3	0	π 2	π	3π 2	2π
3sin（2x+ π 3 ）	0	3	0	-3	0

描點畫圖如下：
  …（13分）
（其中列表（10分），描點畫圖13分）

點評：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換與作圖能力，屬于中檔題．