Question

數列{a_n}的前n項和記為S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n≥1）
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）等差數列{b_n}的各項為正，其前n項和為T_n，且T₃=15，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比數列，求T_n．

Answer 1

（1）因為a_n+1=2S_n+1，…①
所以a_n=2S_n-1+1（n≥2），…②
所以①②兩式相減得a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n（n≥2）
又因為a₂=2S₁+1=3，
所以a₂=3a₁，
故{a_n}是首項為1，公比為3的等比數列
∴a_n=3^n-1．
（2）設{b_n}的公差為d，由T₃=15得，可得b₁+b₂+b₃=15，可得b₂=5，
故可設b₁=5-d，b₃=5+d，
又因為a₁=1，a₂=3，a₃=9，并且a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比數列，
所以可得（5-d+1）（5+d+9）=（5+3）²，
解得d₁=2，d₂=-10
∵等差數列{b_n}的各項為正，
∴d＞0，
∴d=2，
∴Tn=3n+

n(n-1)

2

×2=n2+2n