Question

已知數列{a_n}中，a₁=2，n∈N⁺，a_n＞0，數列{a_n}的前n項和S_n，且滿足an+1=

2

Sn+1Sn-2

．
（Ⅰ）求{S_n}的通項公式；
（Ⅱ）設{b_k}是{S_n}中的按從小到大順序組成的整數數列．
（1）求b₃；
（2）存在N（N∈N⁺），當n≤N時，使得在{S_n}中，數列{b_k}有且只有20項，求N的范圍．

Answer 1

分析：（I）根據a_n+1=S_n+1-S_n，代入已知等式并化簡整理可得（S_n+1-1）²-（S_n-1）²=2，因此數列{（S_n-1）²}構成公差為2的等差數列，其首項為（S₁-1）²=1，結合等差數列的通項公式算出（S_n-1）²的表達式，從而求出{S_n}的通項公式；
（II）（1）根據（I）的結論得S_n=1+

2n-1

，找出使

2n-1

為正整數的n值，從而得到當n=1、5、13時S₁=2、S₅=4、S₁₃=6為{S_n}的前3個整數項，由此即可得到b₃=S₁₃=6；
（2）根據整數的整除性理論，可得若S_n=1+

2n-1

∈N^*，必定有

2n-1

=2k-1∈N^*．由此算出n=2k²-2k+1，其中k是正整數，進而解出當k=20時，n=761，當k=21時，n=841．由此即可推算出：正整數N滿足761≤N＜841，當n≤N時，在{S_n}中數列{b_k}有且只有20項，可得N的范圍．

解答：解：（I）∵a_n+1=S_n+1-S_n
∴

2

Sn+1Sn-2

=S_n+1-S_n，化簡得（S_n+1）²-（S_n）²-2（S_n+1-S_n）=2
整理，得（S_n+1-1）²-（S_n-1）²=2
∴數列{（S_n-1）²}構成首項為（S₁-1）²=1，公差d=2的等差數列
因此，（S_n-1）²=2n-1，可得S_n=1+

2n-1

（II）（1）由（I）的結論，S_n=1+

2n-1

∴欲使S_n為整數，則必須

2n-1

∈N^*，可得n=

1

2

（k²+1）（k∈N^*）
因此，分別取k=1、3、5，得n=1、5、13，可得S₁=2，S₅=4，S₁₃=6
∴結合數列{b_k}的定義，可得b₁=S₁=2，b₂=S₅=4，b₃=S₁₃=6；
（2）∵2n-1是一個奇數，
∴若S_n=1+

2n-1

為整數，必定有

2n-1

=2k-1，其中k是正整數
由此可得2n-1=（2k-1）²，化簡得n=2k²-2k+1
∵當k=20時，n=2×20²-2×20+1=761；當k=21時，n=2×21²-2×21+1=841
∴存在N滿足761≤N＜841，當n≤N時，在{S_n}中數列{b_k}有且只有20項．
即所求N的取值范圍為{N|761≤N＜841且N∈N⁺}．

點評：本題給出數列關于a_n+1、S_n+1和S_n的式子，求數列{S_n}的通項公式并依此討論{S_n}的整數項的問題．著重考查了等差數列、等比的通項公式，數列的前n項和與通項的關系，考查了整數的整除性的理解和二次不等式的解法等知識，屬于中檔題．