Question

第30屆夏季奧運會將于2012年7月27日在英國倫敦召開，某百貨公司預計從2012年1月起前x個月市場對某種奧運商品的需求總量p(x)=

1

2

x(x+1)(39-2x)，（x∈N^*，且x≤12）．該商品的進價q（x）與月份x的近似關系為q（x）=150+2x（x∈N^*，x≤12）．
（1）求2012年第x個月的需求量f（x）；
（2）該商品每件的售價為185元，若不計其他費用且每月都能滿足市場需求，則該百貨公司2012年僅銷售該商品可獲月利潤預計最大是多少？

Answer 1

分析：（1）由題意得，第x個月的需求量等于第x個月的需求總量減去第x-1個月的需求總量，當x=1時，f（1）=p（1），當2≤x≤12時，f（x）=p（x）-P（x-1）；
（2）根據月利潤=該商品每件的利潤×月銷售量，列出關系式，再利用導數求最值求解即可．

解答：解：（1）當x=1時，f（1）=p（1）=37．（2分）
當2≤x≤12時，f（x）=p（x）-p（x-1）
=

1

2

x（x+1）（39-2x）-

1

2

（x-1）x（41-2x）
=-3x2+40x，（x∈N*且x≤12）（5分）
驗證x=1符合f（x）=-3x²+40x，
∴f（x）=-3x²+40x（x∈N*且x≤12）．（7分）
（2）該商場預計銷售該商品的月利潤為
g（x）=（-3x²+40x）（185-150-2x）
=6x³-185x²+1400x，（x∈N*且x≤12），
令h（x）=6x³-185x²+1400x（1≤x≤12），
h'（x）=18x²-370x+1400，
令h'（x）=0，解得x=5，x=

140

9

（舍去）．（10分）
當1≤x＜5時，h'（x）＞0；當5＜x≤12時，h'（x）＜0．
∴當x=5時，h（x）取最大值h（5）=3125．（12分）
∴當x=5時，g（x）_max=g（5）=3125（元）．
綜上，5月份的月利潤最大是3125元．（14分）

點評：本題考查利用函數知識解決應用題的有關知識．新高考中的重要的理念就是把數學知識運用到實際生活中，如何建模是解決這類問題的關鍵．同時要熟練地利用導數的知識解決函數的求最值問題．