Question

【題目】已知△ABC中，AB=AC，D為△ABC外接圓劣弧 上的點（不與點A，C重合），延長BD至E，延長AD交BC的延長線于F.
（1）求證：∠CDF=∠EDF；
（2）求證：ABACDF=ADFCFB．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵A，B，C，D 四點共圓，∴∠ABC=∠CDF

又AB=AC∴∠ABC=∠ACB，

且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，

對頂角∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF；

（2）證明：由（I）得∠ADB=∠ABF，

∵∠BAD=∠FAB，

∴△BAD∽△FAB，

∴ = ，

∴AB2=ADAF，

∵AB=AC，

∴ABAC=ADAF，

∴ABACDF=ADAFDF，

根據割線定理DFAF=FCFB，

∴ABACDF=ADFCFB．

【解析】（I）根據A，B，C，D 四點共圓，可得∠ABC=∠CDF，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，從而得解．（II）證明△BAD∽△FAB，可得AB2=ADAF，因為AB=AC，所以ABAC=ADAF，再根據割線定理即可得到結論．