Question

若一系列函數(shù)的解析式和值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“同效函數(shù)”，例如函數(shù)y=x²，x∈[1，2]與函數(shù)y=x²，x∈[-2，-1]即為“同效函數(shù)”．請你找出下面函數(shù)解析式中能夠被用來構(gòu)造“同效函數(shù)”的是（　　）

• A．y=x
• B．y=

  x

  x2+1

• C．y=2^x-2^-x
• D．y=lg（3x+9）

Answer 1

分析：由題意，能夠被用來構(gòu)造“同效函數(shù)”的函數(shù)必須滿足在其定義域上不單調(diào)．由此判斷各個函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性，即可得到A、C、D中的函數(shù)不符合題意，而B中的函數(shù)在其定義域上不是單調(diào)函數(shù)，符合題意．

解答：解：根據(jù)題意，“同效函數(shù)”需滿足：對于同一函數(shù)值，有不同的自變量與其對應(yīng)．
因此，能夠被用來構(gòu)造“同效函數(shù)”的函數(shù)必須滿足在其定義域上不單調(diào)．
∵函數(shù)y=x在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，∴y=x不能夠被用來構(gòu)造“同效函數(shù)”，故A不正確；
∵函數(shù)y=

x

x2+1

在（-∞，-1），（1，+∞）上是減函數(shù)，在（-1，0），（0，1）上是增函數(shù)，
∴y=

x

x2+1

能夠被用來構(gòu)造“同效函數(shù)”，故B正確；
∵函數(shù)y=2^x-2^-x在（-∞，+∞）上是增函數(shù)；
∴y=2^x-2^-x不能夠被用來構(gòu)造“同效函數(shù)”，故C不正確；
∵函數(shù)y=lg（3x+9）在（-3，+∞）上是增函數(shù)，
∴y=lg（3x+9）不能夠被用來構(gòu)造“同效函數(shù)”，故D不正確．
故選：B．

點評：本題考查了函數(shù)的定義域及其值域，考查了函數(shù)的單調(diào)性，是新定義題，屬基礎(chǔ)題．