Question

已知數列{a_n}中，a₁=4，an+1=4-

4

an

（n∈N^*）
（1）求證：數列{

1

an-2

}是等差數列；
（2）求數列的{a_n}通項公式a_n；
（3）記bn=nan(

1

2

)n+1，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）由an+1=4-

4

an

（n∈N^*）得出an+1-2=2-

4

an

，

1

an+1-2

=

an

2(an-2)

，計算

1

an+1-2

-

1

an-2

=

1

2

，所以數列{

1

an-2

}是等差數列；
（2）通過{

1

an-2

}的通項公式求數列的{a_n}通項公式a_n；
（3）bn=nan(

1

2

)n+1=（n+1）（

1

2

）n，利用錯位相消法求和．

解答：解：（1）∵an+1=4-

4

an

（n∈N^*），
∴an+1-2=2-

4

an

，

1

an+1-2

=

an

2(an-2)

，
∴

1

an+1-2

-

1

an-2

=

1

2

，

1

a1-2

=

1

2

，所以數列{

1

an-2

}是以

1

2

為公差，以

1

2

為首項的等差數列；
（2）由（1）得

1

an-2

=

1

2

+

1

2

（n-1）=

n

2

，∴a_n=

2

n

+2，
（3）bn=nan(

1

2

)n+1=n（

2

n

+2）（

1

2

）ⁿ⁺¹=（n+1）（

1

2

）ⁿ，
S_n=2•

1

2

+3•(

1

2

)2+…+(n+1)(

1

2

)n，
∴

1

2

S_n=2•(

1

2

)2+3•(

1

2

)3+…+(n+1)(

1

2

)n+1
兩式相減，

1

2

S_n=1+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-(n+1)(

1

2

)n+1
=1+

1 4 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-（n+1）（

1

2

）ⁿ⁺¹
=1+

1

2

-（

1

2

）ⁿ-（n+1）（

1

2

）ⁿ⁺¹，
=

3

2

-（n+3）（

1

2

）ⁿ⁺¹．
∴S_n=3-（n+3）（

1

2

）ⁿ．

點評：本題考查數列遞推公式、通項公式求解．錯位相消法．考查轉化構造，推理論證，運算求解能力．屬于中檔題．