Question

如圖，過拋物線x²=4y的對稱軸上任一點P（0，m）（m＞0）作直線與拋物線交于A，B兩點，點Q是點P關于原點的對稱點．
（I）設點P分有向線段所成的比為λ，證明：
（Ⅱ）設直線AB的方程是x-2y+12=0，過A，B兩點的圓C與拋物線在點A處有共同的切線，求圓C的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依題意，可設直線AB的方程為y=kx+m，代入拋物線方程x²=4y得x²-4kx-4m=0．設A、B兩點的坐標分別是（x₁，y₁）、（x₂，y₂），x₁x₂=-4m．由點P（0，m）分有向線段所成的比為λ，得．由此可以推出．
（Ⅱ）由得點A、B的坐標分別是（6，9）、（-4，4）．設圓C的方程是（x-a）²+（y-b）²=r²，則解得．所以圓C的方程是x²+y²+3x-23y+72=0．
解答：解：（Ⅰ）依題意，可設直線AB的方程為y=kx+m，代入拋物線方程x²=4y得x²-4kx-4m=0．①
設A、B兩點的坐標分別是（x₁，y₁）、（x₂，y₂），則x₁、x₂是方程①的兩根．
所以x₁x₂=-4m．
由點P（0，m）分有向線段所成的比為λ，
得．
又點Q是點P關于原點的對稱點，
故點Q的坐標是（0，-m），從而.．==．
所以．
（Ⅱ）由得點A、B的坐標分別是（6，9）、（-4，4）．
由x²=y得，
所以拋物線x²=4y在點A處切線的斜率為y'|_x=6=3
設圓C的方程是（x-a）²+（y-b）²=r²，
則
解之得．
所以圓C的方程是，
即x²+y²+3x-23y+72=0．
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，仔細求解．